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L1与L2损失函数和正则化的区别

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  • 2019-03-18
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简介本文翻译自文章:DifferencesbetweenL1andL2asLossFunctionandRegularization,如有翻译不当之处,欢迎拍砖,谢谢~ 

本文翻译自文章:Differences between L1 and L2 as Loss Function and Regularization,如有翻译不当之处,欢迎拍砖,谢谢~

  在机器学习实践中,你也许需要在神秘的L1和L2中做出选择。通常的两个决策为:1) L1范数 vs L2范数 的损失函数; 2) L1正则化 vs L2正则化。

作为损失函数

  L1范数损失函数,也被称为最小绝对值偏差(LAD),最小绝对值误差(LAE)。总的说来,它是把目标值((Y_{i}))与估计值((f(x_{i})))的绝对差值的总和((S))最小化:

[S=sumlimits_{i=1}^{n}|Y_{i}-f(x_{i})|.]

  L2范数损失函数,也被称为最小平方误差(LSE)。总的来说,它是把目标值((Y_{i}))与估计值((f(x_{i})))的差值的平方和((S))最小化:

[S=sumlimits_{i=1}^{n}Big(Y_{i}-f(x_{i})Big)^{2}.]

  L1范数与L2范数作为损失函数的区别能快速地总结如下:

L2损失函数L1损失函数
不是非常的鲁棒(robust)鲁棒
稳定解不稳定解
总是一个解可能多个解

  鲁棒性(robustness),根据维基百科,被解释为:

因为与最小平方相比,最小绝对值偏差方法的鲁棒性更好,因此,它在许多场合都有应用。最小绝对值偏差之所以是鲁棒的,是因为它能处理数据中的异常值。这或许在那些异常值可能被安全地和有效地忽略的研究中很有用。如果需要考虑任一或全部的异常值,那么最小绝对值偏差是更好的选择。

从直观上说,因为L2范数将误差平方化(如果误差大于1,则误差会放大很多),模型的误差会比L1范数来得大( e vs e^2 ),因此模型会对这个样本更加敏感,这就需要调整模型来最小化误差。如果这个样本是一个异常值,模型就需要调整以适应单个的异常值,这会牺牲许多其它正常的样本,因为这些正常样本的误差比这单个的异常值的误差小。

  稳定性,根据维基百科,被解释为:

最小绝对值偏差方法的不稳定性意味着,对于数据集的一个小的水平方向的波动,回归线也许会跳跃很大。在一些数据结构(data configurations)上,该方法有许多连续解;但是,对数据集的一个微小移动,就会跳过某个数据结构在一定区域内的许多连续解。(The method has continuous solutions for some data configurations; however, by moving a datum a small amount, one could “jump past” a configuration which has multiple solutions that span a region. )在跳过这个区域内的解后,最小绝对值偏差线可能会比之前的线有更大的倾斜。相反地,最小平方法的解是稳定的,因为对于一个数据点的任何微小波动,回归线总是只会发生轻微移动;也就说,回归参数是数据集的连续函数。

下面的图是用真实数据和真实拟合模型生成的:

这里使用的基本模型为梯度提升回归(GradientBoostingRegressor),使用L1范数和L2范数作为损失函数。绿线和红色分别代表了模型使用L1范数与L2范数作为损失函数时的情形。实线代表了训练的模型中不含有异常值(橙色)的情形,虚线代表了训练的模型中含有异常值(橙色)的情形。  我缓慢地将这个异常值从左向右移动,使得它在中间时不那么异常,而在左右两边时更加异常。当这个异常值不那么异常时(在中间的情形),在拟合直线的时候,L2范数的变动较小,而L1范数的表动较大。  当这个异常值更加异常(上左位置,下右位置,它们离左、右两边更加远)时,这两个范数都有大的变动,但是再一次地,L1范数总体上比L2范数变动更大。  通过数据可视化,我们能够对这两个损失函数的稳定性有更好的认知。

作为正规化

  在机器学习中,正规化是防止过拟合的一种重要技巧。从数学上讲,它会增加一个正则项,防止系数拟合得过好以至于过拟合。L1与L2的区别只在于,L2是权重的平方和,而L1就是权重的和。如下:

最小平方损失函数的L1正则化:

最小平方损失函数的L2正则化:

它们的性质的区别能快速地总结如下:

L2正则化L1正则化
计算效率高(因为有解析解)在非稀疏情形下计算效率低
非稀疏输出稀疏输出
无特征选择内置特征选择

  解的唯一性是一个更简单的性质,但需要一点想象。首先,看下图:

绿色的线(L2范数)是唯一的最短的路径,而红色、蓝色、黄色线条(L1范数)都是同一路径,长度一样(12)。可以将其扩展至n-维的情形。这就是为什么L2范数有唯一解而L1并不是。  内置特征选择是L1范数被经常提及的有用的性质,而L2范数并不具备。这是L1范数的自然结果,它趋向于产生稀疏的系数(在后面会解释)。假设模型有100个系数,但是仅仅只有其中的10个是非零的,这实际上是说“其余的90个系数在预测目标值时都是无用的”。L2范数产生非稀疏的系数,因此它不具备这个性质。  稀疏性指的是一个矩阵(或向量)中只有少数的项是非零的。L1范数具备性质:产生许多0或非常小的系数和少量大的系数。  计算效率。L1范数没有一个解析解,但是L2范数有。这就允许L2范数在计算上能高效地计算。然而,L1范数的解具备稀疏性,这就允许它可以使用稀疏算法,以使得计算更加高效。

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